From: Leonhard.Euler@cielodelsole.par
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Object: Re: termine della progressione

Caro Epsi,
mi dici che per te bastava il ventitreesimo termine, che ha 1.262.612 decimali, e dici bene, anche se ti sei aiutato un pochino con Excel. Io i calcoli li facevo a mano!

Ma eccoti la soluzione del problemino per i tuoi amici. 
La progressione cercata è 2, 4, 16, 256, … , cioè 21, 22, 24, 28, … , 2q, ove l’esponente q raddoppia ogni volta, e dunque è a sua volta una potenza di 2: q = 20, 21, 22, 23, ecc. Dunque, il venticinquesimo termine corrisponde a q = 224 = 16.777.216. Passando a base 10, N = 10q log 2, dove il logaritmo è quello in base 10 (con buona pace del nostro amico John Napier, qui ci servono proprio i logaritmi decimali). Sulle tavole trovi log10 2 = 0,30103, con Excel 0,301029995663981… Nel libro do altre 3 cifre significative, perché dovendo moltiplicare per q, che è compreso tra 107 e 108, già mi serve un errore minore di 10–8 solo per avere giusta la parte intera. Infatti, se ti fermi a 0,30102999 – oppure se prendi il valore straordinariamente fortunato di 0,30103 – avrai giusta la parte intera e nessun decimale, e quindi rispondi alla domanda, ma poi non conosci nessuna cifra significativa del risultato. Ma se ti basta l’ordine di grandezza, prendi pure 0,3: farai un errore minore dell’1%. In fondo, è l’approssimazione che fate quando dite “un K” per quelli che sono in realtà 210 = 1024 byte. 
Considerando sempre i logaritmi in base 10, abbiamo dunque log N = q log 2 = 5.050.445,259733…, e pertanto N ha 5.050.446 cifre in base 10. Guardando la mantissa scopri che le prime cifre significative sono 181858 (infatti 100,259733 = 1,81858…, ma non ha molta importanza. Io però ne do undici, tanto per gradire).
A questo punto la mia domanda era facile, vero? Basta trovare il primo esponente q che risulta maggiore di p = 3.021.377, e si scopre subito che è q = 222 = 4.194.304

Grüss Gott
Leo