A.I. Generated

Responsabile del corso: Marco Bramanti

Docenti del corso: Marco Bramanti, Elsa Marchini, Gianmaria Verzini

• Presentazione
• Destinatari
• Struttura
• Iscrizione
• Programma

Presentazione del corso

Le equazioni differenziali (ordinarie) costituiscono un argomento che in base alle indicazioni ministeriali andrebbe trattato nell'ultimo anno di tutti i licei. Per gli insegnanti affrontare questo argomento impegnativo al termine di un percorso già molto denso pone problemi didattici importanti. Cosa scegliere? Di cosa parlare e come?

Invece di rispondere direttamente a queste domande (che evidentemente richiedono la valutazione del singolo docente caso per caso) vogliamo allargare il discorso, e offrire al docente, che potrebbe aver studiato molti anni fa le equazioni differenziali e non aver mai approfondito l'argomento, dopo una prima introduzione generale dell'argomento “equazioni differenziali” e della relativa modellistica, una panoramica introduttiva su un paio di discipline dell'analisi matematica che rappresentano un naturale sviluppo dello studio di base delle equazioni differenziali, e ne mostrano quindi applicazioni, motivazioni e linee di sviluppo. Queste discipline sono la teoria qualitativa delle equazioni differenziali e la teoria del controllo. L'idea del corso è: conoscere più di quanto si dovrà insegnare per allargare la propria cultura matematica e avere un quadro motivazionale più ricco, da cui trarre anche suggerimento per le scelte didattiche specifiche nel percorso che si svolgerà effettivamente in aula.

Si precisa che la comprensione delle lezioni del corso non richiede prerequisiti che vadano oltre il calcolo differenziale e integrale abitualmente insegnato a scuola. Le prime due lezioni daranno anche i prerequisiti necessari a seguire la terza e quarta lezione.

Destinatari

Insegnanti di matematica di scuole secondarie di secondo grado, o altri insegnanti interessati all’argomento.

Struttura del corso, piano delle lezioni e docenti

Quattro incontri di 3 ore l'uno (orario 14.30-17.30) tenuti da docenti del Dipartimento di Matematica, precisamente:

Lezione 1. Mercoledì 6/3/24. Introduzione generale alle equazioni differenziali, prima parte (Prof. Marco Bramanti)

Lezione 2. Mercoledì 13/3/24. Introduzione generale alle equazioni differenziali, seconda parte (Prof. Marco Bramanti)

Lezione 3. Mercoledì 20/3/24. Introduzione alla teoria qualitativa delle equazioni differenziali. (Prof. Gianmaria Verzini)

Lezione 4. Mercoledì 27/3/24. Introduzione alla teoria del controllo. (Prof.ssa Elsa Maria Marchini).

Le lezioni si terranno in presenza, nell'aula didattica FDS del Laboratorio Effediesse (Dipartimento di Matematica del Politecnico, Edificio 14, 4° piano, Via Bonardi 9) trasmesse anche in streaming su webex (il link verrà inviato venerdi 1 marzo a tutti e soli gli iscritti).

Si raccomanda in particolare, per tutti coloro per cui è possibile, di partecipare in presenza.

Si sottolinea che NON SARANNO MESSE A DISPOSIZIONE REGISTRAZIONI DELLE LEZIONI. Anche per chi intende seguire in streaming, il corso può essere seguito esclusivamente in diretta.

Modalità di adesione e attestato di partecipazione

> Per iscriversi è necessario compilare il seguente form http://tiny.cc/iscrizioniEDO <

La quota di iscrizione (indipendentemente dal fatto che il docente segua le lezioni in presenza o in streaming) sarà di 100 euro, pagabili anche con carta docente.

Un attestato di partecipazione sarà rilasciato agli iscritti con l’indicazione del numero di ore di lezione a cui saranno stati effettivamente presenti (in presenza o in streaming con webcam accesa).

Programma dettagliato delle lezioni

Lezioni 1 e 2. Introduzione generale alle equazioni differenziali

Le prime due lezioni costituiscono complessivamente un'introduzione generale al tema delle equazioni differenziali ordinarie. Si presenteranno sia esempi e concetti elementari, con taglio e livello direttamente utilizzabile a scuola, sia i primi elementi della teoria rigorosa delle equazioni e dei sistemi di equazioni differenziali, utili al docente per avere un quadro concettuale di riferimento. In particolare, le prime due lezioni complessivamente forniranno i prerequisiti necessari per seguire le successive due lezioni.

Argomenti trattati nelle prime due lezioni:

Equazioni differenziali del prim'ordine: discussione di alcuni esempi elementari, di particolare interesse storico e fisico; equazioni a variabili separabili. Concetti di: soluzione di un'equazione differenziale, integrale generale, condizione iniziale, problema di Cauchy. Esempi significativi di equazioni differenziali del second'ordine e sistemi di equazioni differenziali. Il ruolo dei sistemi di equazioni del primo ordine nello sviluppo della teoria generale. Questioni di esistenza e di unicità, in piccolo e in grande, con esempi a riguardo. Concetto di sistema autonomo e spazio delle fasi. Curve integrali e orbite.

Equazioni differenziali lineari, loro proprietà generali. Risoluzione delle equazioni lineari del prim'ordine. Esempi significativi di equazioni lineari del second'ordine a coefficienti costanti: oscillazioni meccaniche libere, forzate, smorzate. Quadro generale sulla risoluzione delle equazioni del second'ordine omogenee a coefficienti costanti.

Cenni storici sulla teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Lezione 3. Introduzione alla teoria qualitativa delle equazioni differenziali

Per quanto moltissimi fenomeni possano essere descritti da modelli matematici che coinvolgono equazioni differenziali, generalmente poche tipologie di tali equazioni possono essere risolte esplicitamente. Questo motiva la necessità di poter ottenere alcune proprietà significative delle soluzioni direttamente dall’equazione, senza risolverla, mediante la teoria degli studi qualitativi, che generalizza quelli dei grafici di funzione. La prima parte dell’incontro riguarderà lo studio qualitativo di singole equazioni differenziali del prim’ordine, prendendo spunto da qualche modello ma cercando di dare una trattazione piuttosto sistematica della problematica. Nella seconda parte, assai meno sistematica, considereremo qualche esempio di sistema autonomo di equazioni differenziali.

Lezione 4. La teoria del controllo ottimo: introduzione, problemi classici, un'applicazione all'allunaggio

L'evoluzione di un sistema, le cui configurazioni possono essere descritte da un certo numero di variabili, può essere modellizzata da un’equazione differenziale, i cui ingredienti sono le quantità che descrivono il fenomeno. 

In un sistema controllato viene introdotto un ulteriore ingrediente: un insieme di parametri esterni detti variabili di controllo. Queste funzioni posso essere interpretate come dei controllori in grado di modificare l'evoluzione del sistema in modo da raggiungere alcuni obiettivi preassegnati, nascono così i problemi di problemi di controllo ottimo. Lo scopo è determinare dei controlli ottimali che, quando inseriti nel nostro sistema, ottimizzano alcune prestazioni (in linguaggio matematico massimizzano o minimizzano delle funzioni obbiettivo). 

La lezione sulla teoria del controllo ottimo sarà strutturata in due parti. 

Nella prima parte verranno introdotti i sistemi di controllo attraverso problemi concreti, quali, arrestare un treno in una stazione minimizzandone il consumo di energia, spostare una barca dalla riva di un fiume, del quale si conosce la corrente, alla riva opposta nel minor tempo possibile, agendo sulla potenza del suo motore. Per la risoluzione di questi problemi ricorreremo ad uno strumento fondamentale per la teoria del controllo ottimo, il Principio del Massimo di Pontryagin, che fornisce delle condizioni necessarie di ottimalità in grado di selezionare i candidati controlli ottimi. 

La seconda parte della lezione sarà dedicata ad un classico problema in ambito aerospaziale (l’ambiente dove, negli anni Sessanta, si è sviluppata la teoria del controllo ottimo). Utilizzando gli ingredienti proposti nella prima parte della lezione, mostreremo come scegliere una strategia ottimale per far atterrare in modo sicuro un modulo lunare sulla luna. Analizzeremo due tipologie di problemi legati all’allunaggio. Nel primo forniremo le istruzioni al pilota del modulo lunare per governare il motore, così da minimizzare la quantità di carburante utilizzato, risorsa preziosa nelle esplorazioni spaziali; nel secondo, immaginando un guasto e quindi la necessità di atterrare rapidamente, istruiremo il pilota affinché governi il motore minimizzando il tempo di atterraggio.